OMCC

Decimos que un número es "tico" si la suma de sus dígitos es un múltiplo de $2003$. Demuestra que existe un número entero positivo $N$ tal que los primeros múltiplos de $2003$, $N,2N,3N,\dots 2003N$ son todos ticos. ¿Existe un número entero positivo $N$ tal que todos sus múltiplos son ticos?