◄ OMCC 2003 ►

Dos jugadores $A$ y $B$ se turnan en el siguiente juego: Hay un montón de piedras de $2003$. En su primer turno, $A$ elige un divisor de $2003$ y retira este número de piedras del montón. A continuación, $B$ elige un divisor del número de piedras restantes, y retira ese número de piedras del nuevo montón, y así sucesivamente. El jugador que tenga que retirar la última piedra pierde. Demuestre que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describa la estrategia.

$S$ es una circunferencia con $AB$ de diámetro y $t$ es la recta tangente a $S$ en $B$. Consideremos los dos puntos $C$ y $D$ en $t$ de tal manera que $B$ está entre $C$ y $D$. Supongamos que $E$ y $F$ son las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$ y que $G$ y $H$ son las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$. Demostrar que $AH=AG$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a>1$ y $b>2$. Demostrar que $a^b+1\ge b(a+1)$ y determinar cuándo hay desigualdad.

$S_1$ y $S_2$ son dos circunferencias que se cruzan en dos puntos diferentes $P$ y $Q$. Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas tales que $\ell_1$ pasa por el punto $P$ y corta $S_1,S_2$ en $A_1,A_2$ respectivamente (ambos distintos de $P$), y $\ell_2$ pasa por el punto $Q$ y corta $S_1,S_2$ en $B_1,B_2$ respectivamente (ambos distintos de $Q$). Demostrar que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen el mismo perímetro.

Un tablero cuadrado con $8\text{cm}$ lados se divide en $64$ casillas con cada lado $1\text{cm}$. Cada casilla puede estar pintada de blanco o de negro. Halla el número total de formas de colorear el tablero para que cada cuadrado de lado $2\text{cm}$ formado por cuatro casillas con un vértice común contenga dos casillas blancas y dos negras.

Decimos que un número es "tico" si la suma de sus dígitos es un múltiplo de $2003$. Demuestra que existe un número entero positivo $N$ tal que los primeros múltiplos de $2003$, $N,2N,3N,\ldots 2003N$ son todos ticos. ¿Existe un número entero positivo $N$ tal que todos sus múltiplos son ticos?