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Problema 1

¿Para qué números enteros n≥3 es posible acomodar, en algún orden, los números 1,2,⋯,n en una forma circular tal que cada número divide la suma de los dos números siguientes, en sentido horario?

Problema 2

Sea ABC un triángulo agudo, y sean D y E los pies de las altitudes trazadas desde los vértices A y B, respectivamente. Demostrar que si, [BDE]≤[DEA]≤[EAB]≤[ABD] entonces, el triángulo es isósceles.

Problema 3

Para cada número entero a>1 se construye una lista infinita de enteros L(a), como sigue: a es el primer número de la lista L(a). Dado un número b en L(a), el siguiente número de la lista es b+c, donde c es el mayor entero que divide a b y es menor que b. Encontrar todos los enteros a>1 tales que 2002 está en la lista L(a).

Problema 4

Sea ABC un triángulo, D el punto medio de BC, E un punto del segmento AC tal que BE=2AD y F el punto de intersección de AD con BE. Si ∠DAC=60∘, hallar la medida del ángulo ∠FEA.

Problema 5

Encontrar un conjunto de infinitos enteros positivos S tal que para cada n≥1 y cualesquiera n elementos distintos x1,x2,⋯,xn de S, el número x1+x2+⋯+xn no es un cuadrado perfecto.

Problema 6

Una trayectoria desde (0,0) hasta (n,n) en la red está formada por movimientos unitarios hacia arriba o hacia la derecha. Está equilibrada si la suma de las coordenadas x de sus vértices 2n+1 es igual a la suma de sus coordenadas y. Demostrar que un camino equilibrado divide el cuadrado con vértices (0,0), (n,0), (n,n), (0,n) en dos partes con igual área.