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Problema 1

¿Para qué números enteros $ n\ge 3$ es posible acomodar, en algún orden, los números $ 1,2,\cdots, n$ en una forma circular tal que cada número divide la suma de los dos números siguientes, en sentido horario?

Problema 2

Sea $ ABC$ un triángulo agudo, y sean $ D$ y $ E$ los pies de las altitudes trazadas desde los vértices $ A$ y $ B$, respectivamente. Demostrar que si, \[ [BDE] \le [DEA] \le [EAB] \le [ABD] \] entonces, el triángulo es isósceles.

Problema 3

Para cada número entero $ a>1$ se construye una lista infinita de enteros $ L(a)$, como sigue: $ a$ es el primer número de la lista $ L(a)$. Dado un número $ b$ en $ L(a)$, el siguiente número de la lista es $ b+c$, donde $ c$ es el mayor entero que divide a $ b$ y es menor que $ b$. Encontrar todos los enteros $ a>1$ tales que $ 2002$ está en la lista $ L(a)$.

Problema 4

Sea $ ABC$ un triángulo, $ D$ el punto medio de $ BC$, $ E$ un punto del segmento $ AC$ tal que $ BE = 2AD$ y $ F$ el punto de intersección de $ AD$ con $ BE$. Si $\angle DAC = 60^{\circ}$, hallar la medida del ángulo $\angle FEA$.

Problema 5

Encontrar un conjunto de infinitos enteros positivos $ S$ tal que para cada $ n\ge 1$ y cualesquiera $ n$ elementos distintos $ x_1,x_2,\cdots, x_n$ de S, el número $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ no es un cuadrado perfecto.

Problema 6

Una trayectoria desde $ (0,0)$ hasta $ (n,n)$ en la red está formada por movimientos unitarios hacia arriba o hacia la derecha. Está equilibrada si la suma de las coordenadas x de sus vértices $ 2n+{}1$ es igual a la suma de sus coordenadas y. Demostrar que un camino equilibrado divide el cuadrado con vértices $ (0,0)$, $ (n,0)$, $ (n,n)$, $ (0,n)$ en dos partes con igual área.