◄ OMCC 2001 ►

Dos jugadores $ A$, $ B$ y otras 2001 personas forman un círculo, de manera que $ A$ y $ B$ no están en posiciones consecutivas. $ A$ y $ B$ juegan en turnos alternos, empezando por $ A$. Una jugada consiste en tocar a una de las personas vecinas, la cual una vez tocada sale del círculo. El ganador es el último que queda en pie. Demuestre que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora, y dé dicha estrategia. Nota: Un jugador tiene una estrategia ganadora si es capaz de ganar sin importar lo que haga el adversario.

Sea $ AB$ el diámetro de una circunferencia con centro $ O$ y radio $ 1$. Sean $ C$ y $ D$ dos puntos de la circunferencia tales que $ AC$ y $ BD$ se intersecan en un punto $ Q$ situado en el interior de la circunferencia, y $ \angle AQB = 2 \angle COD$. Sea $ P$ un punto que corta las tangentes a la circunferencia que pasan por los puntos $ C$ y $ D$. Determinar la longitud del segmento $ OP$.

Encuentra todos los números enteros positivos $N$ tales que sólo dos de los dígitos de $ N$ son distintos de $ 0$, uno de ellos es $ 3$, y $N$ es un cuadrado perfecto.

Determinar el menor número entero positivo $ n$ tal que existan enteros positivos $ a_1,a_2,\cdots,a_n,$ que sean menores o iguales a $ 15$ y que no sean necesariamente distintos, tal que los cuatro últimos dígitos de la suma \[ a_1! + a_2! + \cdots + a_n!\] es $ 2001$.

Sean $ a,b$ y $ c$ números reales tales que la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene dos soluciones reales distintas $ p_1,p_2$ y la ecuación $ cx^2 + bx + a = 0$ tiene dos soluciones reales distintas $ q_1,q_2$. Sabemos que los números $ p_1,q_1,p_2,q_2$ en ese orden, forman una progresión aritmética. Demostrar que $ a+c=0$.

En la circunferencia de un círculo se marcan $ 10000$ puntos, que se numeran de $ 1$ a $ 10000$ en el sentido de las agujas del reloj. Se dibujan $ 5000$ segmentos de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: Cada segmento une dos puntos marcados. Cada punto marcado pertenece a uno y sólo un segmento. Cada segmento interseca exactamente uno de los segmentos restantes. A cada segmento se le asigna un número que es el producto del número asignado a cada punto final del segmento. Sea $ S$ la suma de los productos asignados a todos los segmentos. Demostrar que $ S$ es múltiplo de $ 4$.