OMCC

Digamos que $n=abc$. $a^2+b^2+c^2$ divide a $26$, entonces debe ser igual a algún divisor de $26$. Los divisores de $26$ son $1,2,13,$ y $26$. Haremos los 4 casos para el valor de $a^2+b^2c^2$. Caso 1, $a^2+b^2+c^2=1$: Como $a>0$, la única solución es $n=100$. Caso 2, $a^2+b^2+c^2=2$: Si algún dígito es mayor o igual a $2$, la suma de los cuadrados será mayor a $2$. Entonces las soluciones son $n=110$ y $n=101$. Caso 3, $a^2+b^2+c^2=13$: Todos los dígitos deben ser menores o iguales a $3$. De lo contrario, la suma de cuadrados será mayor a $13$. Los únicos cuadrados perfectos que suman 13 son $3^2+2^2$, entonces las soluciones son $n=320,302,230,203$. Caso 4, $a^2+b^2+c^2=26$: Todos los dígitos deben ser menores o iguales a $5$. De lo contrario, la suma de cuadrados será mayor a $26$. Los únicos cuadrados perfectos que suman $26$ son $5^2+1^2$ o $4^2+3^2+1^2$. Entonces las soluciones son \[n=510,501,150,105,431,413,341,314,143,134\]. Finalmente, juntando todas las soluciones obtenemos: \[(110,101,320,302,230,203,510,501,150,105,431,413,341,314,143,134).\]