OMCC

Nota: diremos que el área de la figura $\mathcal{P}$ es $[\mathcal{P}]$ Iniciamos prolongando $CM$ hasta que intersecta a la línea $AB$ en $N$. Como $M$ es el punto medio de $AD$, y $AB\parallel CD$, los triángulos $\bigtriangleup NAM$ y $\bigtriangleup CDM$ son congruentes, y $NM=MC$. Como comparten base y altura, los triángulos $\bigtriangleup NMB$ y $\bigtriangleup BMC$ tienen la misma área. A demás, como son congruentes, $[\bigtriangleup NAM]=[\bigtriangleup CDM]$. Entonces \begin{align*} [ABCD]&=[ABM]+[MBC]+[CDM]\\ &=[ABM]+[MBC]+[NAM]\\ &=[NMB]+[MBC]\\ &=2\cdot[MBC]. \end{align*} Entonces el área de $ABCD$ es el doble del área de $\bigtriangleup MBC$. También, por la fórmula de área, $[MBC]=\frac12 ab \sin{150^{\circ}}$. Entonces $[ABCD]=2\cdot\frac12 ab \sin{150^{\circ}}= \boxed{\frac12ab}$.