OIM

Sea $P = \{ p_1, p_2, \cdots , p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que:

1. cada elemento de $P$ tiene un color distinto,
2. si $m,n \in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$,
3. para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n \in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $R$ y $m,n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente.

Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.