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Sea $P = \{ p_1, p_2, \cdots , p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que:

1. cada elemento de $P$ tiene un color distinto,
2. si $m,n \in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color de $m$ o $n$,
3. para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n \in A$ (no necesariamente distintos), con $j,k$ de color $R$ y $m,n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente.

Demuestre que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.

Considere un triángulo acutángulo $ABC$, con $AC > AB$, y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. El circuncírculo del triángulo $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X \neq C$. La recta $BX$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que$YP = YA$, con $P \neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demuestre que $F$ es el punto medio de $PQ$.
Nota: El circuncírculo de un triángulo es la circunferencia que pasa por sus tres vértices.

Sea $a_1, a_2, a_3, \cdots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1, b_2, b_3, \cdots$ la sucesión de números reales dada por \[ b_n = \frac{a_1a_2 \cdots a_n}{a_1 + a_2 + \cdots a_n}, n \geq 1 \] Demuestre que si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1, b_2, b_3, \cdots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k > 2021^{2021}$.

Sean $a,b,c,x,y,z$ números reales tales que \[ a^2 + x^2 = b^2 + y^2 = c^2 + z^2 = (a+b)^2 + (x+y)^2 = (b+c)^2 + (y+z)^2 = (c+a)^2 + (z+x)^2 \] Demuestre que $a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Encuentre dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{ 1,2,\cdots ,2021 \}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Considere un polígono regular de $n$ lados, $n \geq 4$, y sea $V$ un subconjunto de $r$ vértices del polígono. Demuestre que si $r(r-3) \geq n$, entonces existen al menos dos triángulos congruentes cuyos vértices pertenecen a $V$.