◄ OIM 2020 ►

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB < AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en la recta $MN$ tales que $\angle CBP = \angle ACB$ y $\angle QCB = \angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ interseca a la recta $AC$ en $D$ ($D \neq A$) y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ interseca a la recta $AB$ en $E$ ($E \neq A$). Demuestre que las rectas $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$, se define $T_n$ como el menor entero positivo tal que $1+2+\cdots + T_n$ es múltiplo de $n$. Por ejemplo, $T_5 = 4$ puesto que $1$, $1+2$ y $1+2+3$ no son múltiplos de $5$, pero $1+2+3+4$ sí es múltiplo de $5$.
Determine todos los enteros positivos $m$ tales que $T_m \geq m$.

Sea $n \geq 2$ un entero. Una sucesión $\alpha = (a_1, a_2, \cdots , a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si \[ \textrm{mcd}\{ a_i - a_j \mid a_i > a_j, 1 \leq i,j \leq n \} = 1 \] Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_l$ de una sucesión, con $k \neq l$, y reemplazar $a_l$ por $a_l' = 2a_k - a_l$.
Demuestre que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas, digamos $\beta$ y $\gamma$, tales que es posible transformar $\beta$ en $\gamma$ mediante un número finito de operaciones.
Aclaración: Si todos los elementos de una sucesión son iguales, entonces esa sucesión no es limeña.

Demuestre que existe un conjunto $C$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades:

• Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.
• Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que \[ f(x f(x-y)) + yf(x) = x + y + f(x^2) \] para cualesquiera números reales $x,y$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ interseca nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico al punto $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.