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Para cada número natural $n \geq 2$, hallar las soluciones enteras del siguiente sistema de ecuaciones: \[ x_1 = (x_2 + x_3 + x_4 + \cdots + x_n)^{2018} \] \[ x_2 = (x_1 + x_3 + x_4 + \cdots + x_n)^{2018} \] \[\cdots\] \[ x_n = (x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{n-1})^{2018} \]

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC = 90^{\circ}$ y $BA = CA$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Un punto $D \neq A$ es elegido en la semicircunferencia de diámetro $BC$ que contiene a $A$. La circunferencia circunscrita al triángulo $DAM$ intersecta a las rectas $DB$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que $BE = CF$.

En un plano tenemos $n$ rectas sin que haya dos paralelas, ni dos perpendiculares, ni tres concurrentes. Se elige un sistema de ejes cartesianos con una de las $n$ rectas como eje de las abscisas. Un punto $P$ se sitúa en el origen de coordenadas del sistema elegido y comienza a moverse a velocidad constante por la parte positiva del eje de las abscisas. Cada vez que $P$ llega a la intersección de dos rectas, sigue por la recta recién alcanzada en el sentido que permite que el valor de la abscisa de $P$ sea siempre creciente. Demostrar que se puede elegir el sistema de ejes cartesianos de modo que $P$ pase por puntos de las $n$ rectas.
Nota: El eje de las abscisas de un sistema de coordenadas del plano es el eje de la primera coordenada o eje de las $x$.

Un conjunto $X$ de enteros positivos es ibérico si $X$ es un subconjunto de $\{ 2,3,4, \cdots ,2018\}$, y siempre que $m$ y $n$ pertenezcan a $X$, entonces el $\textrm{mcd}(m,n)$ pertenece también a $X$. Un conjunto ibérico es olímpico si no está contenido en ningún otro conjunto ibérico. Encontrar todos los conjuntos ibéricos olímpicos que contienen el número $33$.

Sea $n$ un entero positivo. Para una permutación $a_1, a_2, \cdots , a_n$, de los números $1,2, \cdots , n$, definimos \[ b_k = \min_{1 \leq i \leq k} a_i + \max_{1 \leq j \leq k} a_j \] para cada $k = 1,2, \cdots ,n$. Decimos que la permutación $a_1, a_2, \cdots , a_n$, es guadiana si la sucesión $b_1, b_2, \cdots, b_n$, no tiene dos elementos consecutivos iguales. ¿Cuántas permutaciones guadianas existen?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB > BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB = BP$ y $AC = CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle DKA = \angle EKM$.