◄ OIM 2016 ►

Determinar todos los números primos positivos $p,q,r,k$ tales que \[ pq + qr + rp = 12k + 1 \]

Encontrar todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones \[ x = \frac{1}{y^2 + y - 1}, y = \frac{1}{z^2 + z - 1}, z = \frac{1}{x^2 + x - 1} \]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$, distinto de $A$ y $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela por $A$ a la recta $PR$ corta a la recta $PJ$. Demostrar que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

Determinar el mayor número de alfiles que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8 \times 8$, de forma que no haya dos alfiles en la misma casilla y cada alfil sea amenazado como máximo por uno de los otros alfiles.
Nota. Un alfil amenaza a otro si ambos se encuentran en dos casillas distintas de una misma diagonal. El tablero tiene por diagonales las dos diagonales principales y las paralelas a ellas.

Las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ más cercana a $K$ toca a $\Gamma_1$ en $B$ y a $\Gamma_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$, y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, probar que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.

Sea $k$ un entero positivo y $a_1, a_2, \cdots a_k$ dígitos. Probar que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2, \cdots a_k, b_1, b_2, \cdots b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\cdots b_k$.