◄ OIM 2015 ►

El número $125$ se puede representar como suma de varios números naturales que son mayores que $1$ y coprimos dos a dos. Encuentre el máximo número de sumandos que puede tener tal representación.

Una recta $r$ contiene los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden. Sea $P$ un punto fuera de $r$ tal que $\angle APB = \angle CPD$. Pruebe que la bisectriz de $\angle APD$ corta a $r$ en un punto $G$ tal que \[ \frac{1}{GA} + \frac{1}{GC} = \frac{1}{GB} + \frac{1}{GD} \]

Sean $\alpha$ y $\beta$ raíces del polinomio $x^2-qx+1$, donde $q$ es un número racional mayor que $2$. Se define $s_1 = \alpha + \beta$, $t_1 = 1$ y, para cada entero $n \geq 2$, \[ s_n = \alpha^n + \beta^n, t_n = s_{n-1} + 2s_{n-2} + \cdots + (n-1)s_1 + n \] Demuestre que, para todo $n$ impar, $t_n$ es el cuadrado de un número racional.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $D$ es el pie de la perpendicular desde $A$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ un punto del segmento $AD$. Las rectas $BP$ y $CP$ cortan a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sean $J$ y $K$ los pies de las perpendiculares desde $E$ y $F$ sobre $AD$ respectivamente. Demuestre que \[ \frac{FK}{KD} = \frac{EJ}{JD} \]

Determine todos los pares $(a,b)$ de números enteros que verifican \[ (b^2 + 7(a-b))^2 = a^3 b \]

Beto juega con su computadora al siguiente juego: inicialmente su computadora elige al azar $30$ números de $1$ a $2015$, y Beto los escribe en un pizarrón (puede haber números repetidos); en cada paso, Beto elige un entero positivo $k$ y algunos de los números escritos en el pizarrón, y le resta a cada uno de ellos el número $k$, con la condición de que los números resultantes sigan siendo no negativos. El objetivo del juego es lograr que en algún momento los $30$ números resultantes sean iguales a $0$, en cuyo caso el juego termina. Determine el menor número $n$ tal que, independientemente de los números que inicialmente eligió su computadora, Beto pueda terminar el juego en a lo sumo $n$ pasos.