◄ OIM 2014 ►

Para cada entero positivo $n$, se define $s(n)$ como la suma de los dígitos de $n$.
Determine el menor entero positivo $k$ tal que \[ s(k) = s(2k) = s(3k) = \cdots = s(2013k) = s(2014k) \]

Halla todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $P(2014) = 1$ y, para algún entero $c$, se cumple que \[ x P(x-c) = (x-2014)P(x) \]

Sobre una circunferencia se marcan $2014$ puntos. Sobre cada uno de los segmentos cuyos extremos son dos de los $2014$ puntos, se escribe un número real no negativo. Se sabe que para cualquier polígono convexo cuyos vértices son algunos de los $2014$ puntos, la suma de los números escritos en sus lados es menor o igual que $1$. Determine el máximo valor posible de la suma de todos los números escritos.

Se tienen $N$ monedas, de las cuales $N-1$ son auténticas de igual peso y una es falsa, de peso diferente a las demás. El objetivo es, utilizando exclusivamente una balanza de dos platos, hallar la moneda falsa y determinar si es más pesada o más liviana que las auténticas. Cada vez que se pueda deducir que una o varias monedas son auténticas, entonces todas esas monedas se separan inmediatamente y no se pueden usar en las siguientes pesadas. Determine todos los $N$ para los que se puede lograr con certeza el objetivo. (Se pueden hacer tantas pesadas como se desee.)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ el punto de intersección de las alturas. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$, respectivamente. $DM$ y $DN$ intersectan a $AB$ y $AC$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Si $XY$ intersecta a $BH$ en $P$ y a $CH$ en $Q$, demuestre que $H$, $P$, $D$, y $Q$ están en una misma circunferencia.

Dado un conjunto $X$ y una función $f : X \rightarrow X$, denotamos, para cada $x \in X$, $f^1(x) = f(x)$ y, para cada $j \geq 1$, $f^{j+1} = f(f^j(x))$. Decimos que $a \in X$ es un punto fijo de $f$ si $f(a) = a$. Para cada número real $x$, definimos $\pi (x)$ como la cantidad de primos positivos menores o iguales que $x$. Dado un número entero positivo $n$, decimos que $f : \{ 1,2, \cdots , n \} \rightarrow \{ 1,2, \cdots , n \}$ es catracha si $f^{f(k)}(k) = k$ para todo $k \in \{ 1,2, \cdots ,n\}$. Pruebe que:

1. Si $f$ es catracha, entonces $f$ tiene al menos $\pi (n)- \pi (\sqrt{n})+1$ puntos fijos.
2. Si $n \geq 36$, existe una función catracha con exactamente $\pi (n) - \pi (\sqrt{n})+1$ puntos fijos.