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Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c \in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$.

1. Demostrar que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2, \cdots , c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{ kc_1, kc_2, \cdots , kc_n \}$ es canalero.
2. Demostrar que, para cualquier entero $n \geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.

Sean $X,Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Sea $A = \{ 1,2,3, \cdots ,n\}$ con $n>5$. Demostrar que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A \subseteq B$ y tiene la propiedad \[ \prod_{x \in B} x = \sum_{x \in B} x^2 \] es decir, el producto de los elementos de $B$ es igual a la suma de los cuadrados de los elementos de $B$.

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D \neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$.
Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $BEC$.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que:

1. $A \cup B$ es el conjunto de los enteros positivos.
2. $A \cap B$ es el vacío.
3. Si dos enteros positivos tienen como diferencia a un primo mayor que $2013$, entonces uno de ellos está en $A$ y el otro en $B$.

Hallar todas las posibilidades para los conjuntos $A$ y $B$.

Una configuración es un conjunto finito $S$ de puntos del plano entre los cuales no hay tres colineales y a cada punto se le asigna algún color, de modo que si un triángulo cuyos vértices están en $S$ tiene un ángulo mayor o igual a $120^{\circ}$, entonces exactamente dos de sus vértices son de un mismo color.
Hallar el número máximo de puntos que puede tener una configuración.