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Sobre un rectángulo $ABCD$ se dibujan triángulos equiláteros $BCX$ y $DCY$ de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta $AX$ corta a la recta $CD$ en $P$. La recta $AY$ corta a la recta $BC$ en $Q$. Demostrar que el triángulo $APQ$ es equilátero.

Un entero positivo es bisumado si se puede escribir como suma de dos enteros positivos que tengan la misma suma de sus dígitos. Por ejemplo, $2012$ es bisumado pues $2012 = 2005+7$ y tanto $2005$ como $7$ tienen suma de dígitos igual a $7$. Encontrar todos los enteros positivos que no son bisumados.

Sea $n$ un entero positivo. Dado un conjunto $\{ a_1, a_2, \cdots , a_n\}$ de enteros entre $0$ y $2^n - 1$ inclusive, a cada uno de sus $2^n$ subconjuntos se les asigna la suma de sus elementos; en particular, el subconjunto vacío tiene suma $0$. Si estas $2^n$ sumas dejan distintos residuos al dividirlas entre $2^n$, se dice que el subconjunto $\{ a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ es $n$-completo. Determinar, para cada $n$, la cantidad de conjuntos $n$-completos.

Sean $a,b,c,d$ números enteros positivos tales que $a-b+c-d$ es impar y divide a $a^2-b^2+c^2-d^2$. Demostrar que $a-b+c-d$ divide a $a^n-b^n+c^n-d^n$ para todo entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la paralela a $BC$ por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$ por $P$ y la perpendicular a $CQ$ por $Q$ se intersecan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, mostrar que $AI = AR$.

Demostrar que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos.