◄ OIM 2011 ►

En la pizarra está escrito el número $2$. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones: multiplicarlo por $2$, o multiplicarlo por $3$, o sumarle $1$. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a $2011$ gana. Hallar cuál de los dos tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres números enteros no nulos $x,y,z$ tales que \[ x+y+z=0, \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{n} \]

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita con los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Suponga que $C_1, C_2, C_3$ son circunferencias con cuerdas $YZ$, $ZX$, $XY$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se corten sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Suponga que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$ respectivamente. Demostrar que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC \neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es el ortocentro de $ABC$.

Sean $x_1, \cdots , x_n$ números reales positivos. Demostrar que existen $a_1, \cdots , a_n \in \{ -1,1 \}$ tales que \[ a_1 x_1^2 + \cdots + a_n x_n^2 \geq (a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n)^2.\]

Sean $k$ y $n$ enteros positivos, con $k \geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes de tal forma que $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo $m$ pasos, que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si:

1. $n$ es par,
2. $n$ es impar y $k=3$.