◄ OIM 2010 ►

Se tienen diez monedas indistinguibles puestas en línea. Se sabe que dos de ellas son falsas y ocupan posiciones consecutivas en la línea. Para cada conjunto de posiciones, se puede preguntar cuántas monedas falsas contiene. ¿Es posible determinar cuáles son las monedas falsas efectuando únicamente dos de estas preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda?

Determinar si existen números enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión definida por $x_1 = 2010$, $x_2 = 2011$, \[x_{n+2} = x_n + x_{n+1} + a\sqrt{x_n x_{n+1} + b}, n \geq 1,\] sean enteros.

La circunferencia $\Gamma$ inscrita al triángulo escaleno $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta $EF$ corta a la recta $BC$ en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ en $R$ ($R \neq D$). Sean $P$ y $Q$ ($P \neq R$, $Q \neq R$) las intersecciones de $BR$ y $CR$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$. La circunferencia circunscrita a $CDE$ corta al segmento $QR$ en $M$ y la circunferencia circunscrita a $BDF$ corta al segmento $PR$ en $N$. Demostrar que las rectas $PM$, $QN$ y $RX$ son concurrentes.

Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números enteros positivos distintos son números enteros. Hallar el menor valor posible para la media aritmética.
Nota: Si $a$ y $b$ son números positivos, sus medias aritmética, geométrica y armónica son, respectivamente: $\frac{a+b}{2}$, $\sqrt{ab}$ y $\frac{2ab}{a+b}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABCD$, $K$ la intersección de las diagonales, $L \neq O$ la intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de $ABCD$. Probar que $O$, $K$, $L$ y $G$ están alineados.

Alrededor de una mesa circular sobre la que hay $28$ floreros se sientan $12$ personas. Dos personas pueden verse si y sólo si no hay ningún florero alineado con ellas. Probar que existen al menos dos personas que pueden verse.