◄ OIM 2009 ►

Sea $n$ un natural mayor a $2$. Supongamos que $n$ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes, con las islas $x_1, x_2, \cdots , x_n$ en orden de las manecillas del reloj.
Comenzando en la isla $x_1$, ¿de cuántas maneras se pueden recorrer los $2n$ puentes pasando por cada puente exactamente una vez?

Para cada entero positivo $n$ se define $a_n = n + m$ donde $m$ es el mayor entero tal que $2^{2^m} \leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$ con el mismo radio, que se cortan en $A$ y $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D$ y la bisectriz de $\angle CAD$ interseca a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL = \angle XCD = 30^{\circ}$ y $CX = O_1 O_2$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$. Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ interseca por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

La sucesión $a_n$ está definida por $a_1 = 1$, $a_{2k} = 1 + a_k$ y $a_{2k+1} = \frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k \geq 1$.
Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esta sucesión.

Alrededor de una circunferencia se marcan $6000$ puntos y cada uno se colorea con uno de $10$ colores dados, de manera tal que entre cualesquiera $100$ puntos consecutivos siempre figuran los $10$ colores. Hallar el menor valor $k$ con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k$ puntos consecutivos entre los cuales figuran los $10$ colores.