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Problema 1
Se distribuyeron los números $1,2,3, \cdots 2008^2$ en un tablero $2008 \times 2008$, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea $S$ la suma de los $4016$ números obtenidos. Determine el mayor valor posible de $S$.
Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo escaleno y $r$ la bisectriz externa del ángulo $\angle ABC$. Se consideran $P$ y $Q$, los pies de las perpendiculares a la recta $r$ que pasan por $A$ y $C$ respectivamente. Las rectas $CP$ y $AB$ se intersecan en $M$ y las rectas $AQ$ y $BC$ se intersecan en $N$. Demuestre que las rectas $AC$, $MN$ y $r$ tienen un punto en común.
Problema 3
Sean $m$ y $n$ enteros tales que el polinomio $P(x) = x^3 + mx + n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ e $y$ son enteros y $107$ divide a $P(x) - P(y)$, entonces $107$ divide a $x-y$. Demuestre que $107$ divide a $m$.
Problema 4
Demuestre que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que
\[ x^{2008} + 2008! = 21^y \]
Problema 5
Sea $ABC$ un triángulo, y $X$, $Y$, $Z$ puntos sobre los lados $BC$, $AC$, $AB$ respectivamente. Sean $A'$, $B'$, $C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY$, $BXZ$, $CYX$. Demuestre que
\[(A'B'C') \geq \frac{(ABC)}{4}\]
y que la igualdad se cumple si y sólo si las rectas $AA'$, $BB'$, $CC'$ tienen un punto en común.
Observación: para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área por $(RST)$.
Observación: para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área por $(RST)$.
Problema 6
En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro personas cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. ¿Para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características?