◄ OIM 2007 ►

Dado un entero positivo $m$, se define la sucesión $\{ a_n \}$ de la siguiente manera: \[ a_1 = \frac{m}{2}, a_{n+1} = a_n \lceil a_n \rceil, \text{ si } n \geq 1. \] Determinar todos los valores de $m$ para los cuales $a_{2007}$ es el primer entero que aparece en la sucesión.
Nota: Para un número real $x$ se define $\lceil x \rceil$ como el menor entero que es mayor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lceil \pi \rceil = 4$, $\lceil 2007 \rceil = 2007$.

Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$, $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1 X_2$ y $X_3 X_4$. Demostrar que $AK$ corta al segmento $X_2 X_3$ en su punto medio.

Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n \geq 2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego. Cada equipo, en su turno, coloca una de sus banderas en un punto de la circunferencia que no se haya usado en una jugada anterior. Cada bandera, una vez colocada, no se puede cambiar de lugar. Una vez colocadas las $2n$ banderas se reparte el territorio entre los dos equipos. Un punto del territorio es del equipo $A$ si la bandera más próxima a él es azul, y es del equipo $B$ si la bandera más próxima a él es blanca. Si la bandera azul más próxima a un punto está a la misma distancia que la bandera blanca más próxima a ese punto, entonces el punto es neutro (no es de $A$ ni de $B$). Un equipo gana el juego si sus puntos cubren un área mayor que el área cubierta por los puntos del otro equipo. Hay empate si ambos cubren áreas iguales. Demostrar que, para todo $n$, el equipo $B$ tiene estrategia para ganar el juego.

En un tablero cuadriculado de $19 \times 19$, una ficha llamada dragón da saltos de la siguiente forma: se desplaza $4$ casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y $1$ casilla en dirección perpendicular a la anterior.
Se sabe que, con este tipo de saltos, el dragón puede moverse de cualquier casilla a cualquier otra.
La distancia dragoniana entre dos casillas es el menor número de saltos que el dragón debe dar para moverse de una casilla a otra.
Sea $C$ una casilla situada en una esquina del tablero y sea $V$ la casilla vecina a $C$ que le toca en un único punto.
Demostrar que existe alguna casilla $X$ del tablero tal que la distancia dragoniana de $C$ a $X$ es mayor que la distancia dragoniana de $C$ a $V$.

Un número natural $n$ es atrevido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al $1$ y al $n$, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atrevido?

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones:

1. los lados opuestos de $H$ son paralelos;
2. tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho $1$.

Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$.
Nota: Una franja de ancho $l$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $l$ (incluidas ambas rectas paralelas).