◄ OIM 2006 ►

En el triángulo escaleno $ABC$, con $\angle BAC = 90^{\circ}$, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita corta a la recta $BC$ en $M$. Sean $S$ y $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$. Las rectas $AM$ y $SR$ se cortan en $U$. Demuestre que el triángulo $UMN$ es isósceles.

Se consideran $n$ números reales $a_1, a_2, \cdots a_n$ no necesariamente distintos. Sea $d$ la diferencia entre el mayor y el menor de ellos y sea: \[ s = \sum_{i\lt j} \mid a_i - a_j \mid \] Demuestre que: \[ (n-1)d \leq s \leq \frac{n^2 d}{4} \] y determine las condiciones que deben cumplir estos $n$ números para que se verifique cada una de las igualdades.

Los números $1,2,3, \cdots , n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n \times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número $1$, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número $1$. Desde la casilla con el número $1$ viaja a la casilla con el número $2$, desde allí a la casilla con el número $3$, y así sucesivamente, hasta que regresa a la casilla inicial, tomando en cada uno de los viajes el camino más corto. El recorrido completo le toma a la ficha $N$ pasos. Determine el menor y mayor valor posible de $N$.

Determine todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $2a+1$ y $2b-1$ sean primos relativos y $a+b$ divida a $4ab+1$.

Dada una circunferencia $\Gamma$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $\Gamma$, con $AD$ tangente a $\Gamma$ en $P$ y $CD$ tangente a $\Gamma$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $\Gamma$, y $M$ el punto medio de $XY$. Demuestre que $\angle AMP = \angle CMQ$.

Sea $n > 1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k \geq 2$, se define $P_k$ como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}$ y $P_{k-2}$. Determine para qué valores de $n$ la sucesión $P_0, P_1, P_2, \cdots$, recorre todos los vértices del polígono.