◄ OIM 2005 ►

Determine todas las ternas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[ xyz = 8 \] \[ x^2 y + y^2 z + z^2 x = 73 \] \[ x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 = 98 \]

Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento salta desde el punto $0$ y cae en el punto $1$. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b+(b-a)-1$, $b+(b-a)$, $b+(b-a)+1$.
Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ entero positivo, entonces ha debido hacer al menos $t$ movimientos, donde $t$ es el menor entero positivo mayor o igual que $2\sqrt{n}$.

Sea $p$ mayor que $3$ un número primo. Si \[ \frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^p} = \frac{n}{m} \] donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es $1$, demuestre que $p^3$ divide a $n$.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $a \nabla b$ el residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0,1,\cdots , b-1$. Encuentre todas las parejas de números $(a,p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que \[ (a \nabla p) + (a \nabla 2p) + (a \nabla 3p) + (a \nabla 4p) = a + p \]

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $\angle B A_1 A_2 = \angle OAC$ y $\angle C A_1 A_3 = \angle OAB$. Demuestre que la recta $A_2 A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1, A_2, \cdots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o de rojo mediante el siguiente procedimiento:
En el plano se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$, disjuntas dos a dos. Cada $A_k$, $1 \leq k \leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia. Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma circunferencia lleven el mismo color.
Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los colores.