◄ OIM 2004 ►
Presiona el título de cualquier problema para ver su página individual.
• Regresar a OIM• Regresar a la página de inicio
Problema 1
Se deben colorear casillas de un tablero de $1001 \times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:
- Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
- De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.
Problema 2
Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $M$ y $N$ al variar $M$.
Problema 3
Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que
\[ \mathrm{mcd}(a,n) = \mathrm{mcd}(b,n) = 1, k=a+b \]
Problema 4
Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Problema 5
Dado un triángulo escaleno $ABC$, se llaman $A'$, $B'$ y $C'$ a los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $A$, $B$ y $C$ con los lados opuestos, respectivamente.
Sea $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$.
Probar que $A''$, $B''$ y $C''$ son colineales.
Sea $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$.
Probar que $A''$, $B''$ y $C''$ son colineales.
Problema 6
Para un conjunto $H$ de puntos en el plano, se dice que un punto $P$ del plano es un punto de corte de $H$ si existen cuatro puntos distintos $A$, $B$, $C$ y $D$ en $H$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$.
Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1, A_2, A_3, \cdots$ de la siguiente manera: para cualquier $j \geq 0$, $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$.
Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito, entonces para cualquier $j \geq 1$ se tiene que $A_j = A_1$.
Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1, A_2, A_3, \cdots$ de la siguiente manera: para cualquier $j \geq 0$, $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$.
Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito, entonces para cualquier $j \geq 1$ se tiene que $A_j = A_1$.