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1. Se tienen dos sucesiones, cada una de $2003$ enteros consecutivos, y un tablero de $2$ filas y $2003$ columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en la primera fila y los de la segunda sucesión en la segunda fila, de tal manera que los resultados obtenidos al sumar los dos números de cada columna formen una nueva sucesión de $2003$ números consecutivos.
2. ¿Y si se reemplaza $2003$ por $2004$?

Tanto en a) como en b), si la respuesta es afirmativa, explique cómo distribuiría los números, y si es negativa, justifique el porqué.

Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en los semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos $M$, $N$ y $P$ los puntos medios de $AC$, $DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestre que las rectas $O_A O_B$ y $MN$ son paralelas.

Pablo estaba copiando el siguiente problema:
Considere todas las sucesiones de $2004$ números reales $(x_0, x_1, x_2, \cdots , x_{2003})$, tales que \[ x_0 = 1, 0 \leq x_1 \leq 2x_0, 0 \leq x_2 \leq 2x_1, \cdots , 0 \leq x_{2003} \leq 2x_{2002} \] Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\cdots$.
Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma \[ S= \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_{2002} + x_{2003} \] donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.

Sea $M = \{ 1,2, \cdots , 49 \}$ el conjunto de los primeros $49$ enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay $6$ números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.

En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP = CQ$. Se consideran puntos $X$ e $Y$, $X \neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP$ y $AQ$ respectivamente. Demuestre que, cualesquiera sean $X$ e $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX$, $XY$ y $DY$.

Se definen las sucesiones $(a_n)_{n \geq 0}$, $(b_n)_{n \geq 0}$ por: \[ a_0 = 1, b_0 = 4, a_{n+1} = a_n^{2001} + b_n, b_{n+1} = b_n^{2001} + a_n \] Demuestre que $2003$ no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.