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Problema 1
Los números enteros del $1$ al $2002$, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente $1, 2, \cdots , 2001, 2002$. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k + 1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k + 1$.
Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?
Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?
Problema 2
Dado cualquier conjunto de $9$ puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.
Problema 3
Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que $\angle APC = 120^{\circ}$.
Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.
Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.
Problema 4
En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$.
Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle EMD = \angle DMF$.
Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle EMD = \angle DMF$.
Problema 5
La sucesión de números reales $a_1, a_2, \cdots$ se define como:
\[ a_1 = 56, a_{n+1} = a_n - \frac{1}{a_n} \]
para cada entero $n \geq 1$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k \leq 2002$, tal que $a_k < 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k \leq 2002$, tal que $a_k < 0$.
Problema 6
Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de $2001 \times 2001$. Ellos juegan alternadamente. Cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres sentidos $\downarrow, \rightarrow, \nwarrow$.
Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada).
Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:
Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada).
Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:
- El ladrón consigue moverse por lo menos $10000$ sin ser capturado.
- El policía posee una estrategia para capturar al ladrón.