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Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

• Todos los dígitos de $n$ son mayores que $1$.
• Siempre que se multipliquen cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1, S_2, \cdots , S_k$ subconjuntos de $S$ ($k \geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos.
Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1 \leq i < j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que \[ r - \frac{nk}{4(k-1)} \]

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ de $n \geq 3$ números reales.
Nota: Tres términos $a_i, a_j, a_k$ de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si $a_i < a_j < a_k$ y $a_j - a_i = a_k - a_j$.

En un tablero de $2000 \times 2001$ las casillas tienen coordenadas $(x,y)$ con $x$, $y$ enteros, $0 \leq x \leq 1999$ y $0 \leq y \leq 2000$. Una nave en el tablero se mueve de la siguiente manera: antes de cada movimiento, la nave está en una posición $(x,y)$ y tiene una velocidad $(h,v)$ donde $h$ y $v$ son enteros. La nave escoge una nueva velocidad $(h',v')$ de forma que $h' - h$ sea igual a $-1$, $0$ ó $1$ y $v'- v$ sea igual a $-1$, $0$ ó $1$. La nueva posición de la nave será $(x',y')$ donde $x'$ es el resto de dividir $x+h'$ entre $2000$ e $y'$ es el resto de dividir $y + v'$ entre $2001$.
Hay dos naves en el tablero: la marciana y la terrestre que quiere atrapar a la marciana. Inicialmente cada nave está en una casilla del tablero y tiene velocidad $(0,0)$. Primero se mueve la nave terrestre y continúan moviéndose alternadamente.
¿Existe una estrategia que siempre le permita a la nave terrestre atrapar a la nave marciana, cualesquiera que sean las posiciones iniciales?
Nota: la nave terrestre, que siempre ve a la marciana, atrapa a la marciana si después de un movimiento suyo cae en la misma posición de la marciana.

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado $1$ con cinco cuadrados iguales de lado menos que $\frac{1}{2}$.