◄ OIM 2000 ►

Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n \geq 3$) y se enumeran sus vértices de $1$ a $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero de $1$ a $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

1. El número asignado a cada lado o diagonal sea distinto a los asignados a los vértices que une.
2. Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice tengan números diferentes.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1 O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M$, $D$ y $C$ están alineados.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación \[ (x+1)^y - x^z = 1 \] para $x,y,z$ enteros mayores que $1$.

De una progresión aritmética infinita $1,a_1,a_2, \cdots$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita $1,b_1,b_2, \cdots$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

Hay un montón de $2000$ piedras. Dos jugadores se turnan para retirar piedras, alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas:

1. En cada jugada se pueden retirar $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$ piedras del montón.
2. En cada jugada se prohibe que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa.

Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida. Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud $1$, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

1. Dado cualquier número $k$, mayor que $0$ y menor o igual que $1$, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
2. Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que $\frac{3}{2}$.