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Problema 1
Halle todos los enteros positivos que son menores que $1000$ y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Problema 2
Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$.
Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.
Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.
- Pruebe que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca a $C_1$ y $B$ biseca a $C_2$.
- Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.
Problema 3
Sean $n$ puntos distintos, $P_1, P_2, \cdots , P_n$, sobre una recta del plano ($n \geq 2$). Se consideran las circunferencias de diámetro $P_i P_j$ ($1 \leq i,j \leq n$) y coloreamos cada circunferencia con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n,k)$-nube a esta configuración.
Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n,k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color. Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n,k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color. Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Problema 4
Sea $B$ un entero mayor que $10$ tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1,3,7,9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que $11$.
Problema 5
Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$.
Las alturas del triángulo son $AD$, $BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.
Las alturas del triángulo son $AD$, $BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.
- Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
- Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2(AD \cdot OM)$.
Problema 6
Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión $C_1, C_2, \cdots$ de la siguiente manera: $C_1 = C$, y para $n \geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \cdots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.
Nota: Una sucesión $C_1, C_2, \cdots$ es periódica a partir de cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n \geq k$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \cdots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.
Nota: Una sucesión $C_1, C_2, \cdots$ es periódica a partir de cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n \geq k$.