◄ OIM 1998 ►

Se dan $98$ puntos sobre una circunferencia. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno de ellos traza un segmento uniendo dos de los puntos dados que no hayan sido unidos entre sí anteriormente. El juego termina cuando los $98$ puntos han sido usados como extremos de un segmento al menos una vez. El vencedor es la persona que realiza el último trazo.
Si José inicia el juego, ¿quién puede asegurarse la victoria?

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta a la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si, y solamente si, $AC=BC$.

Hallar el mínimo número natural $n$ con la siguiente propiedad: entre cualesquiera $n$ números distintos, pertenecientes al conjunto $\{ 1,2, \cdots ,99 \}$, se pueden elegir cuatro números diferentes $a,b,c,d$ tales que $a+2b+3c=d$.

Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de $n$ países ($n \geq 2$), de modo que satisfacen la siguiente condición: si dos personas son del mismo país, entonces sus respectivos vecinos de la derecha no pueden ser de un mismo país. Determinar, para cada $n$, el número máximo de personas que puede haber alrededor de la mesa.

Hallar el máximo valor posible de $n$ para que existan puntos distintos $P_1, P_2, P_3, \cdots , P_n$ en el plano y números reales $r_1, r_2, \cdots , r_n$ de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes $P_i$ y $P_j$ sea $r_i + r_j$.

Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2 - 1998t - 1 = 0$. Se define la sucesión $x_0, x_1, x_2, \cdots$ por: \[ x_0 = 1 \] \[ x_{n+1} = [\lambda x_n], n=0,1,2,\cdots \] Hallar el residuo de la división de $x_{1998}$ por $1998$.
Nota: Los corchetes indican parte entera, o sea, $[x]$ es el único entero $k$ tal que $k \leq x \leq k+1$.