OIM

Sea $n$ un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1,x_2,\cdots x_n,y_1,y_2,\cdots y_n$ son únicamente $0$ y $1$. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas \[ (x_1,x_2,\cdots , x_n,y_1,y_2,\cdots , y_n) \] para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas para las cuales la suma toma valor par. Probar que \[ \frac{P(n)}{I(n)} = \frac{2^n + 1}{2^n - 1} \]