◄ OIM 1997 ►

Sea $r \geq 1$ un número real que cumple la siguiente propiedad:
Para cada pareja de números enteros positivos $m$ y $n$, con $n$ múltiplo de $m$, se tiene que $[nr]$ es múltiplo de $[mr]$.
Probar que $r$ es un número entero.
Nota: Si $x$ es un número real, denotamos por $[x]$ el mayor entero menor o igual que $x$.

Con centro en el incentro $I$ de un triángulo $ABC$ se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento $BC$ en $D$ y $P$ (siendo $D$ el más cercano a $B$); al segmento $CA$ en $E$ y $Q$ (siendo $E$ el más cercano a $C$), y al segmento $AB$ en $F$ y $R$ (siendo $F$ el más cercano a $A$).
Sea $S$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $EQFR$. Sea $T$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $FRDP$. Sea $U$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $DPEQ$. Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos $FRT$, $DPU$ y $EQS$ tienen un único punto común.

Sean $n \geq 2$ un número entero y $D_n$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano cuyas coordenadas son números enteros con $-n \leq x \leq n$ y $-n \leq y \leq n$.

1. Se dispone de $3$ colores; cada uno de los puntos de $D_n$ se colorea con uno de ellos. Demostrar que sin importar cómo se haya hecho esta coloración, siempre hay dos puntos de $D_n$ del mismo color tales que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto de $D_n$.
2. Encontrar una forma de colorear los puntos de $D_n$ utilizando $4$ colores de manera que si una recta contiene exactamente dos puntos de $D_n$, entonces esos dos puntos tienen colores distintos.

Sea $n$ un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1,x_2,\cdots x_n,y_1,y_2,\cdots y_n$ son únicamente $0$ y $1$. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas \[ (x_1,x_2,\cdots , x_n,y_1,y_2,\cdots , y_n) \] para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas para las cuales la suma toma valor par. Probar que \[ \frac{P(n)}{I(n)} = \frac{2^n + 1}{2^n - 1} \]

En un triángulo acutángulo $ABC$ sean $AE$ y $BF$ dos alturas, y sea $H$ el ortocentro. La recta simétrica de $AE$ respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en $A$ y la recta simétrica de $BF$ respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en $B$ se intersecan en un punto $O$. Las rectas $AE$ y $AO$ cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente.
Sean: $P$, la intersección de $BC$ con $HN$; $R$, la intersección de $BC$ con $OM$; y $S$ la intersección de $HR$ con $OP$.
Demostrar que $AHSO$ es un paralelogramo.

Sea $P = \{ P_1, P_2, \cdots , P_{1997} \}$ un conjunto de $1997$ puntos en el interior de un círculo de radio $1$, siendo $P_1$ el centro del círculo. Para cada $k = 1, \cdots , 1997$ sea $x_k$ la distancia de $P_k$ al punto de $P$ más próximo a $P_k$ y distinto de $P_k$. Demostrar que \[ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{1997}^2 \leq 9 \]