◄ OIM 1996 ►

Sea $n$ un número natural. Un cubo de arista $n$ puede ser dividido en $1996$ cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de $n$.

Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demuestre que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y sólamente si, se verifica la igualdad: \[ \frac{BM}{MN} = \frac{(BC)^2}{(BN)^2} \]

Tenemos un tablero cuadriculado de $k^2 - k + 1$ filas y $k^2 - k + 1$ columnas, donde $k = p+1$ y $p$ es un número primo. Para cada primo $p$, de un método para distribuir números $0$ y $1$, un número en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente $k$ números $0$ y además no haya ningún rectángulo de lados paralelos a los lados del tablero con números $0$ en sus cuatro vértices.

Dado un número natural $n \geq 2$, considera todas las fracciones de la forma $\frac{1}{ab}$, donde $a$ y $b$ son números naturales, primos entre sí y tales que \[ a < b \leq n, a+b > n \] Demuestra que para cada $n$ la suma de estas fracciones es $\frac{1}{2}$.

Tres fichas $A$, $B$ y $C$ están situadas cada una en un vértice de un triángulo equilátero de lado $n$. Se ha dividido el triángulo en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado $1$.
Inicialmente todas las líneas de la figura están pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:

1. Primero se mueve $A$, después $B$, después $C$, después $A$ y así sucesivamente, por turnos. En cada turno, cada ficha recorre exactamente un lado de un triángulito, de un extremo a otro.
2. Ninguna ficha puede recorrer un lado de un triangulito que ya esté pintado de rojo; pero puede descansar en un extremo pintado, incluso si ya hay otra ficha esperando ahí su turno.

Demuestra que para todo entero $n>0$ es posible pintar de rojo todos los lados de los triangulitos.

Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, \cdots , A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda_i$ distinto de cero, de manera que $(A_i A_j)^2 = \lambda_i + \lambda_j$ para todos los $i$, $j$ con $i \neq j$. Demuestra que

1. $n \leq 4$ y
2. si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2} + \frac{1}{\lambda_3} + \frac{1}{\lambda_4} = 0$.