◄ OIM 1995 ►

Determine los posibles valores de las sumas de los dígitos de todos los cuadrados perfectos.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra todos los números reales \[x_1,x_2,\dots,x_{n+1}\geq1\] tales que:

• $x_1^{\frac{1}{2}}+x_2^{\frac{1}{3}}+\dots+x_n^{\frac{1}{n+1}}=nx_{n+1}^\frac{1}{2}$
• $\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=x_{n+1}$

Sean $r$ y $s$ dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea $AB$ su perpendicular común, donde $A$ pertenece a $r$ y $B$ pertenece a $s$ (*). Se considera la esfera de diámetro $AB$. Los puntos $M$ de la recta $r$, y $N$ de la recta $s$, son variables, con la condición de que $MN$ sea tangente a la esfera en un punto $T$. Determine el lugar geométrico de $T$.
Nota (*): el plano que contiene a $B$ y $r$ es perpendicular a $s$.

En un tablero de $m \times n$ casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila, la columna y la diagonal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) a la que pertenece. Determine el menor número de fichas deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$ respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX=XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y en $Z$, respectivamente. Demuestre que $EY=FZ$.

Una función $f:\mathbb N\to\mathbb N$ es circular si para cada $p$ en $\mathbb N$ existe $n$ en $\mathbb N$ con $n\leq p$ tal que \[f^n(p)=p.\] La función $f$ tiene grado de repulsión $k\gt 0$ si para cada $p$ en $\mathbb N$, $f^i(p)\neq p$ para toda $i=1,2,\dots,\lfloor kp\rfloor$. Encuentra el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular.