◄ OIM 1994 ►

Se dice que un número natural $n$ es "sensato" si existe un entero $r$, con $1\leq r \leq n-1$, tal que la representación de $n$ en base $r$ tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, $62$ y $15$ son sensatos, ya que $62$ es $222$ en base $5$ y $15$ es $33$ en base $4$. Demostrar que $1993$ no es sensato pero $1994$ sí lo es.

Sea un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cuyos vértices se denotan consecutivamente por $A$, $B$, $C$ y $D$. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en $AB$, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

• Demostrar que $AB=AD+BC$.
• Calcular, en función de $x=AB$ e $y=CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.

En cada casilla de un tablero de $n \times n$ hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de $n$, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

Se dan los puntos $A$, $B$ y $C$ sobre una circunferencia $\Gamma$ de manera que el triángulo $ABC$ es acutángulo. Sea $P$ un punto interior a $\Gamma$. Se trazan las rectas $AP$, $BP$ y $CP$, que cortan de nuevo a la circunferencia en $X$, $Y$ y $Z$. Determinar el punto $P$ para que el triángulo $XYZ$ sea equilátero.

Sean $n$ y $r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1,A_2,\dots ,A_r$ de $\{0,1,\dots ,n-1\}$ cada uno de ellos con $k$ elementos exactamente y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x\leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$, $\dots$, $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con \[x=x_1+x_2+\dots +x_r.\] Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.

Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de $1$ haciendo menos de $1100000$ sumas; más precisamente, hay una sucesión finita de números naturales \[x_0, x_1, \dots , x_k \text{ con } k\leq 1100000, x_0=1, x_k=n,\] tal que para cada $i=1,2,\dots ,k$, existen $r$, $s$, con $0\leq r\leq s \lt i$ y $x_i=x_r+x_s$.