◄ OIM 1993 ►

Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal, se puede leer de igual forma tanto de izquierda a dercha como de derecha a izquierda, por ejemplo: $8$, $23432$, $6446$. Sean $x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_i\lt x_{i+1}\dots$ todos los número capicúas. Para cada $i$ sea $y_{i+1}=x_{i+1}-x_i$. ¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto $\{y_1,y_2,y_3,\dots \}$?

Demuestre que para cualquier polígono convexo de área $1$ existe un paraleogramo de área $2$ que lo contiene.

Sea $\mathbb N^+=\{1,2,3,\dots \}$. Halle todas las funciones $f: \mathbb N^+\to \mathbb N^+$ tales que:

• Si $x\lt y$ entonces $f(x) \lt f(y)$.
• $f\left(yf(x)\right)=x^2f(xy)$, para todos $x$, $y$ en $\mathbb N^+$.

Sea $ABC$ un triángulo equilatero y $\omega$ su incírculo. Si $D$ y $E$ son puntos de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $DE$ es tangente a $\omega$, demuestre que \[\frac{AD}{DB}+\frac{AE}{EC}=1.\]

Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos del plano. Denotemos por $m(PQ)$ a la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento que satisface las siguientes propiedades:

1. Si $P$ y $Q$ son puntos distintos de $S$, entonces $m(PQ)$ interseca a $S$.
2. Si $P_1Q_1$, $P_2Q_2$ y $P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces ningún punto de $S$ pertenece simultáneamente a las tres rectas $m(P_1Q_1)$, $m(P_2Q_2)$ y $m(P_3Q_3)$.

Determine el número de puntos que puede tener $S$.

Dos números enteros no negativos $a$ y $b$ son "cuates" si la expresión decimal $a+b$ consta solamente de ceros y unos. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos infinitos de enteros no negativos, tales que $B$ es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de $A$, y $A$ es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de $B$. Pruebe que en uno de los conjuntos $A$ o $B$ hay infinitos pares de números $x$, $y$ tales que $x-y =1$.