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Problema 1

Para cada entero positivo $n$, definimos $a_n$ como el último dígito del número \[1+2+\dots+n.\] Calcula \[a_1+a_2+\dots+a_{1992}.\]

Problema 2

Sean $a_1,\dots a_n$ números reales tales que $0\lt a_1\lt a_2\lt\dots\lt a_n$. Definimos la función \[f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\dots+\frac{a_n}{x+a_n}.\] Encuentra la suma de las longitudes de los intervalos (disjuntos entre sí) de $x$ en la recta real tales que $f(x)>1$.

Problema 3

Sea $ABC$ un triángulo de lado $2$, y $\omega$ su incírculo.
  • Muestra que para todos los puntos $P$ en $\omega$, $PA^2+PB^2+PC^2=5$.
  • Muestra que para todos los puntos $P$ en $\omega$, es posible construir un triángulo con lados $PA, PB, PC$, con área $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Problema 4

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros tales que:
  1. $a_0=0$ y $b_0=8$.
  2. Para toda $n \geq 0$, $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2$, $b_{n+2}=2b_{n+1}-b_{n}$.
  3. $a_{n}^{2}+b_{n}^{2}$ es un cuadrado perfecto para toda $n\ge 0$.
Encuentra al menos dos valores de la pareja $(a_{1992},b_{1992})$.

Problema 5

Se da la circunferencia $\mathcal C$ y los números positivos $h$ y $m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$ inscrito en $\mathcal C$, de altura $h$ y en el que la suma de las bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$ con regla y compás.

Problema 6

En un triángulo $ABC$ se construyen puntos $A_{1}$ en $AB$ y $A_{2}$ en $AC$ en las prolongaciones más allá de $A$, tales que $AA_{1}=AA_{2}=BC$. Se definen los puntos $B_{1}$, $B_{2}$, $C_{1}$, $C_{2}$ análogamente. Sea $[ABC]$ el área del triángulo $ABC$. Muestra que \[[A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}] \geq 13 [ABC].\]