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Problema 1
A cada vértice de un cubo se asigna el valor de $+1$ o $-1$, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los $14$ números así obtenidos?
Problema 2
Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a $1$. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.
Problema 3
Sea $f$ una función crecienta definida para todos los números reales $x$ entre $0$ y $1$ (inclusive), tal que:
- $f(0)=0$.
- $f\left(\frac x3\right)=\frac{f(x)}{2}$.
- $f(1-x)=1-f(x)$.
Problema 4
Encontrar un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con cinco cifras de $N$.
Problema 5
Sea $P(x,y)=2x^2-6xy+5y^2$. Un entero $a$ es un valor de $P$ si existen enteros $b$ y $c$ tales que $a=P(b,c)$.
- Determina cuántos elementos de $\{1,2,\dots,100\}$ son valores de $P$.
- Muestra que el producto de dos valores de $P$ es un valor de $P$.
Problema 6
Dados $3$ puntos no alineados $M$, $N$ y $P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.
Reformulación: Construye un triángulo con regla y compás dado su ortocentro y puntos medios de dos de sus lados.
Reformulación: Construye un triángulo con regla y compás dado su ortocentro y puntos medios de dos de sus lados.