◄ OIM 1990 ►

Sea $f$ una función en los enteros no negativos tal que:

1. Si $n$ es de la forma $2^j-1$, entonces $f(n)=0$.
2. Si $n$ no es de la forma $2^j-1$, entonces $f(n+1)=f(n)-1$.

Muestra que para todo entero no negativo $n$, existe un entero no negativo $k$ tal que $f(n)+n=2^k-1$. También, calcula $f(2^{1990})$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$, y sean $D$, $E$, $F$ los puntos de tangencia del incírculo con $BC$, $CA$, y $AB$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de $AD$ con el incírculo (distinto de $D$). Si $M$ es el punto medio de $EF$, muestra que $PIMD$ es cíclico, o que los puntos caen sobre una misma recta.

Sea $f(x)=(x+b)^2-c$, con $b$ y $c$ enteros.

• Si $p$ es un primo tal que $p$ divide a $c$ pero $p^2$ no divide a $c$, muestra que para toda $n$, $p^2$ no divide a $f(n)$.
• Sea $q$ un primo impar que no divide a $c$. Si $q$ divide a $f(n)$ para algún entero positivo $n$, muestra que para todo entero positivo $r$, existe un entero positivo $n'$ tal que $q^r$ divide a $f(n')$.

Sea $\mathcal C_1$ una circunferencia con diámetro $AB$, y sea $t$ la tangente a $\mathcal C_1$ por $B$. Sea $M$ otro punto en $\mathcal C_1$ distinto a $A$ y $B$. Se construye la circunferencia $\mathcal C_2$, tangente a $\mathcal C_1$ en $M$ y tangente a $t$.

• Encuentra el punto de tangencia $P$ de $\mathcal C_2$ con $t$, y encuentra el lugar geométrico de el centro de $\mathcal C_2$ mientras $M$ varía sobre $\mathcal C_1$.
• Muestra que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $\mathcal C_2$.

Nota: dos circunferencias son ortogonales si las tangentes a uno de sus puntos de intersección son perpendiculares.

Sean $A$ y $B$ dos vértices opuestos de un tablero de ajedrez de $n\times n$. En cada cuadrito de $1\times 1$ se traza la diagnonal paralela a $AB$, creando $2n^2$ triángulos iguales. Una ficha se mueve de $A$ a $B$ sobre las líneas del tablero, pasando a lo más una vez por cada segmento. Cada vez que la ficha pasa por un segmento, se pone una semilla dentro de los triángulos que tienen a ese segmento como lado. Después de llegar a $B$, hay exactamente dos semillas en cada uno de los $2n^2$ triángulos del tablero. ¿Para cuáles valores de $n$ es posible esto?

Sea $f(x)$ un polinomio de grado $3$ con coeficientes racionales. Muestra que si la gráfica de $f$ es tangente a el eje $x$, entonces todas las raíces de $f$ son racionales.