◄ OIM 1989 ►

Presiona el título de cualquier problema para ver su página individual.

• Regresar a OIM
• Regresar a la página de inicio

Problema 1

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones siguiente: \[x+y-z=-1,\] \[x^2-y^2+z^2=1,\] \[-x^3+y^3+z^3=-1.\]

Problema 2

Sean $x,y,z$ números reales tales que $0\lt z\lt y\lt z\lt\frac\pi2$. Muestra que \[\frac\pi2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z\gt\sin2x\sin2y\sin2z.\]

Problema 3

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que: \[\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|\lt\frac{1}{16}.\]

El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$ en los punto $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos en $A$ y $B$ cortan a $MN$ en los puntos $P$ y $Q$. Sea $I$ el incentro de el triángulo $ABC$. Muestra que \[MP\cdot IA=BC\cdot IQ.\]

Problema 5

Sea $f$ una función desde los enteros positivos, tal que

$f(1)=1$.
$f(2n+1)=f(2n)+1$.
$f(2n)=3f(n)$.

Determinar el conjunto de valores que toma $f$.

Problema 6