Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan $3$, $5$ y $7$, de un punto dado $P$, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.

Reformulación: Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que las distancias de $P$ a $A$, $B$ y $C$ son $3$, $5$ y $7$. Muestra que cuando $P$ es el incentro, el perímetro de $ABC$ se maximiza.