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Problema 1
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética.
Demuestre que el triángulo es equilátero.
Demuestre que el triángulo es equilátero.
Problema 2
Sean $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$ enteros positivos tales que $ad-bc=1$, y
\[\frac ab \gt \frac pq \gt \frac cd.\]
Muestra que:
- $q\geq b+d$.
- Si $q=b+d$, entonces $p=a+c$.
Problema 3
Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan $3$, $5$ y $7$, de un punto dado $P$, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.
Reformulación: Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que las distancias de $P$ a $A$, $B$ y $C$ son $3$, $5$ y $7$. Muestra que cuando $P$ es el incentro, el perímetro de $ABC$ se maximiza.
Reformulación: Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que las distancias de $P$ a $A$, $B$ y $C$ son $3$, $5$ y $7$. Muestra que cuando $P$ es el incentro, el perímetro de $ABC$ se maximiza.
Problema 4
Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a$, $b$, $c$. Se divide cada lado del triángulo en $n$ segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices.
Demuestre que:
\[\frac{S}{a^2+b^2+c^2}\]
es un número racional.
Problema 5
Sean $x$, $y$, $z$ números racionales, y $t=\sqrt[3]{2}$. Si $x+yt+zt^2\neq 0$, muestra que existen números racionales $u$, $v$, $w$ tales que
\[\left(x+yt+zt^2\right)\left(u+vt+wt^2\right)=1.\]
Problema 6
Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética.
Demuestre que en uno de esos conjuntos la suma de los inversos de sus elementos es máximo.