◄ OIM 1987 ►
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Problema 1
Encuentra todas las funciones $f(x)$ tales que
\[[f(x)]^2\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x\]
para toda $x$ distinta de $0$, $1$, y $-1$.
Problema 2
En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Problema 3
Muestra que si $m$, $n$, y $r$ son enteros positivos tales que
\[1+m+n\sqrt 3 = \left(2+\sqrt 3\right)^{2r-1},\]
entonces $m$ es un cuadrado perfecto.
Problema 4
Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y para todo $n\geq 2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de la expresión
\[p_1p_2\dots p_{n-1}+1.\]
Muestra que $p_n\neq 5$ para toda $n$.
Problema 5
Sean $r$, $s$, $t$, las raíces de la ecuación $(x)(x-2)(3x-7)=2$:
- Muestra que $r$, $s$, $t$ son positivos.
- Calcula $\arctan r+\arctan s+\arctan t$.
Problema 6
Sea $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, $P$ y $Q$ son puntos de $AD$ y $BC$ respectivamente tales que:
\[\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}.\]
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.