OIM 1985 ►
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Problema 1
Halle todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que:
\begin{align*}
a+b+c&=24\\
a^2+b^2+c^2&=210\\
abc&=440
\end{align*}
Problema 2
Sea $P$ un punto interior del triángulo equilátero $\triangle ABC$ tal que $PA = 5$, $PB = 7$, $PC = 8$. Hallar la longitud de los lados del triángulo $ABC$.
Problema 3
Encontrar todas las raíces $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ y $r_{4}$ de la ecuación $4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5 = 0$, sabiendo que son reales, positivas y que:
\[ \frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}= 1.\]
Problema 4
Si $x\neq1$, $y\neq1$, $x\neq y$, y
\[ \frac{yz-x^{2}}{1-x}=\frac{xz-y^{2}}{1-y},\]
muestra que ambas fracciones son iguales a $x+y+z$.
Problema 5
A cada número entero positivo $n$ se le asigna un número entero no negativo $f(n)$ tal que se cumplan las siguientes condiciones:
- $f(rs) = f(r)+f(s)$
- $f(n) = 0$, si el primer dígito (de derecha a izquierda) de $n$ es 3.
- $f(10) = 0$.
Problema 6
Dado un triángulo agudo $ABC$, sean $D$, $E$ y $F$ puntos de las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. Si las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ pasan por $O$, el centro de la circunferencia del triángulo $ABC$, cuyo radio es $R$, demostrar que
\[\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R}\]