IMO

Sean $x_1, x_2, \dots , x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que \[a_n = \sqrt{\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)}\] es entero para todo $n = 1, 2, \dots , 2023$. Demuestra que $a_{2023} \geq 3034$.