◄ IMO 2022 ►

El banco de Oslo tiene dos tipos distintos de monedas: aluminio (denotado $A$), y bronce (denotado $B$). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce en una fila, en orden aleatorio. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo $k\leq 2n$, Gilberty hace la siguiente operación varias veces: encuentra la cadena más larga que contiene a la $k$-ésima moneda (de izquierda a derecha) y mueve toda la cadena a el extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso empezando desde $AABBBABA$ sería \[AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...\] Encuentra todas las parejas $(n,k)$ con $1\leq k\leq2n$ tales que para cualquier orden inicial de la fila, en algún momento las $n$ monedas de la izquierda serán todas iguales.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los reales positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que para cada $x\in \mathbb{R}^+$, existe exactamente una $y\in\mathbb{R}^+$ tal que \[xf(y)+yf(x)\leq2.\]

Sea $k$ un entero positivo y $S$ un conjunto finito de primos impares. Muestra que a lo más hay una manera (sin contar rotación ni reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor de un círculo tal que el producto de cualesquiera dos vecinos es de la forma $x^2+x+k$, para algún entero positivo $x$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB=TD$, $TC=TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$, $B$, $A$, $Q$ aparecen sobre su recta en este orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$, $S$ aparecen sobre su recta en este orden. Demostrar que los puntos $P$, $S$, $Q$, $R$ están en una misma circunferencia.

Hallar todas las ternas $(a,b,p)$ de números enteros positivos con $p$ primo que satisfacen \[a^p=b!+p.\]

Sea $n$ un número entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n\times n$ que contiene todos los números del $1$ al $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un valle. Un camino ascendente es una sucesión de una o más celdas tales que:

1. la primera celda de la sucesión es un valle,
2. cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anterior, y
3. los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente.

Hallar, como función de $n$, el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico.