IMO

Pruebe que existe una constante positiva $c$ para la que se satisface la siguiente afirmación: Sea $n \gt 1$ un entero y sea $S$ un conjunto de $n$ puntos del plano tal que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes de $S$ es al menos $1$. Entonces existe una recta $\ell$ separando $S$ tal que la distancia de cualquier punto de $S$ a $\ell$ es al menos $cn^{−1/3}$. (Una recta $\ell$ separa un conjunto de puntos $S$ si $\ell$ corta a alguno de los segmentos que une dos puntos de $S$.) Nota. Los resultados más débiles que se obtienen al sustituir $cn^{−1/3}$ por $cn^{−\alpha}$ se podrán valorar dependiendo del valor de la constante $\alpha \gt 1/3$.