IMO

Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N \gt 1$ tal que para cada $n \geq N$ el número \[\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}\] es entero. Demostrar que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$.