◄ IMO 2018 ►

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, y son tales que $AD = AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ cortan a los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demostrar que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas (o son la misma recta).

Hallar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existen números reales $a_1, a_2, \dots , a_{n+2}$, tales que $a_{n+1} =a_1$ y $a_{n+2} =a_2,$ y \[a_ia_{i+1} + 1 = a_{i+2}\] para $i = 1,2,\dots,n$.

Un "triángulo anti-Pascal" es una disposición de números en forma de triángulo equilátero de tal manera que cada número, excepto los de la última fila, es el valor absoluto de la diferencia de los dos números que están inmediatamente debajo de él. Determinar si existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga todos los enteros desde $1$ hasta $1+2+\dots+2018$.

Un lugar es un punto $(x,y)$ en el plano tal que $x$, $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales que $20$. Al comienzo, cada uno de los $400$ lugares está vacío. Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que la distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por piedras rojas es distinto de $\sqrt{5}$. En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío. (Un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado.) Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra. Hallar el mayor $K$ tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N \gt 1$ tal que para cada $n \geq N$ el número \[\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}\] es entero. Demostrar que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB \cdot CD = BC \cdot DA$. El punto $X$ en el interior de $ABCD$ es tal que \[\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.\] Demostrar que $\angle BXA + \angle DXC = 180^{\circ}$.