IMO

Para cada entero $a_0 \gt 1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ tal que para cada $n \ge 0$: \[ a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{si } \sqrt{a_n} \text{ es entero,} \\ a_n + 3 & \text{en otro caso.} \end{cases} \] Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.