◄ IMO 2017 ►

Para cada entero $a_0 \gt 1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ tal que para cada $n \ge 0$: \[ a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{si } \sqrt{a_n} \text{ es entero,} \\ a_n + 3 & \text{en otro caso.} \end{cases} \] Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x, y$, \[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]

Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclideano. El punto de partida $A_0$ del conejo, y el punto de partida $B_0$ del cazador son el mismo. Después de $n−1$ rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto $A_{n−1}$ y el cazador se encuentra en el punto $B_{n−1}$. En la $n$-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:
(i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n−1}$ y $A_n$ es exactamente $1$.
(ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es menor o igual que $1$.
(iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n−1}$ y $B_n$ es exactamente $1$.
¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de $10^9$ rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que $100$?

Sean $R$ y $S$ puntos distintos sobre la circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro de $\Omega$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento $RT$. El punto $J$ se elige en el menor arco $RS$ de $\Omega$ de manera que $\Gamma$, la circunferencia circunscrita al triángulo $JST$, intersecta a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ más cercano a $R$. La recta $AJ$ corta por segunda vez a $\Omega$ en $K$. Demostrar que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $N \ge 2$ un entero dado. Los $N(N + 1)$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar $N(N − 1)$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los 2N jugadores restantes satisfaga las $N$ condiciones siguientes:
(1) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.
(2) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.
$\vdots$
(N) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.
Demostrar que esto siempre es posible.

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto "primitivo" si el máximo común divisor de $x, y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1, \dots , a_n$ tales que, para cada $(x, y)$ de $S$, se cumple: \[a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.\]